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■両端指定,整数の順列《解説》

---両端が男子である並び方---
【例1】
 男子3人,女子2人の合計5人が1列に並ぶとき,両端が男子であるような並び方は何通りあるか.
<考え方>
 両端に制限がついているときは,はじめに両端から並べると考えやすくなります.

(1)
 左端に並ぶ人は男子でなければならないので,左端には男子3人のうち誰かを入れます.
3通り
(2)
 左端が決まると,男子は1人減って2人になっています.この2人のうちから右端に入る人を決める方法は
2通り
(3)(4)(5)
 残りは,男子1人,女子2人の小計3人です.これら3人を真ん中に並べる方法は
3!通り
以上より,3・2・3!=36通り・・・(答)

(1)(2)は32と書くこともできます.
32・3!=36通り という答案になります.
 男子は3人いるので,そのうち1人は中に来ます.この問題では,「両端が男子である」ことはできますが,「男子は両端に来る」ことはできません.
《要点》
両端が男子である・・・→ 両端を先に並べる


---3けたの整数,4桁の電話番号---
【例2】
0,1,2,3の4個の数字のうち3個を使って3桁の整数は何通りできるか.
<考え方>
 通常の約束として,最高位の数が0のものは3桁の整数とは言いません.
 例 014=14は2桁の整数
 3桁の整数を作るためには,最高位は0以外でなければなりません.
 最高位の入れ方は,0以外
3通り
上で使った1つを除いて,次の位の数を決める.このときは0も使えるので
3通り
一の位は,残り
2通り
結局,3・3・2=18通り・・・(答)

<裏の裏>4桁の電話番号
 通常の約束として,電話番号では最高位の数が0でも4桁などといいます.(0というダイヤル(ボタン)を押す「操作」は他の数と同じ)
 そこで,0124という番号は4桁の電話番号です.特に,0000は電話局の相談窓口だそうです.

《要点》
3桁の「整数」→ 最高位は「0以外」
4桁の「電話番号」→ 最高位は「何でもよい」


---偶数,5の倍数,3の倍数---
【例3】
1,2,3,4,5,6の6つの数字から異なる4つを選び出して並べ,4桁の整数を作るとき,
(1) 偶数は何通りできるか.
(2) 5の倍数は何通りできるか.
(3) 3の倍数は何通りできるか.
<考え方>
(1) 1の位の数は2,4,6
3通り
 その各々について,残りの桁の決め方は
5・4・3=60通り
 ゆえに,180通り・・・(答)

(2) 1の位の数は5
1通り
その各々について,残りの桁の決め方は
5・4・3=60通り
 ゆえに,60通り・・・(答)

(3)
 1,2,3,4,5,6から4個選んで和が3の倍数となる組合せは
ア) 1,2,3,6・・・和は12
イ) 1,2,4,5・・・和は12
ウ) 1,3,5,6・・・和は15
エ) 2,3,4,6・・・和は15
オ) 3,4,5,6・・・和は18
の5通り
その各々について,並べ方は
4!通り
ゆえに,5・4!=120通り・・・(答)
《要点》
偶数→ 1の位が偶数
5の倍数→ 1の位が0,5
3の倍数→ 各位の数字の和が3の倍数


《問題》 正しいものを選んでください.
≪1≫
 大人3人,子供4人の合計7人が1列に並ぶとき,両端に大人が来る並び方は何通りあるか.


≪2≫
 smileの5文字を1列に並べるとき,両端が子音字となる並べ方は何通りあるか.


≪3≫
 0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から相異なる4個を使ってできる,4桁の整数は何通りできるか.


≪4≫
 3桁の整数のうち,各位の数が相異なるものは何通りあるか.


≪5≫
 4桁の電話番号のうち各位の数が相異なるものは,何通りあるか.




≪6≫
 1,2,3,4,5の5個の数字を全部使って5桁の整数を作るとき奇数は何通りできるか.


≪7≫
 1,2,3,4,5の5つの数字から相異なる3つの数字を使って3桁の整数を作るとき,3の倍数は何通りできるか.


≪8≫
 0,1,2,3,4,5の6つの数字から相異なる4つを並べてできる4桁の偶数は何通りあるか.


≪9≫
 0,1,2,3,4,5の6つの数字から相異なる3つの数字を取り出して,3桁の整数を作るとき,3の倍数は何通りできるか.



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