.
高校〜大学基礎の数学用語.公式.例

奇関数・偶関数
odd function, even function
用語
関数が,を満たすとき,は奇関数であるという.
関数が,を満たすとき,は偶関数であるという.
奇関数:
偶関数:
グラフ
が奇関数であるとき,のグラフは原点に関して対称になる.
奇関数のときが成り立つから,右図の点座標がのとき,座標は,となり,座標も座標も符号が逆になる.したがって,原点対称.
が偶関数であるとき,のグラフはy軸に関して対称になる.
偶関数のときが成り立つから,右図の点座標がのとき,座標は,となり,座標が逆になり座標はどう符号になる.したがって,y軸対称.
話題
♪〜言葉は独り歩きできない!
奇関数×奇関数=偶関数…(*1)
偶関数×偶関数=偶関数…(*2)
奇関数×偶関数=奇関数…(*3)
となることに注意
(*1)の証明
ならば,

他の証明は各自でできるはず
また,
奇関数±奇関数=奇関数…(*4)
偶関数±偶関数=偶関数…(*5)
も示せる.マクローリン展開において

のように,の奇数乗[×定数]の和差だけで表せることと,が奇関数であることは関係がある.…奇関数であることの直接証明は:
同様に,
のように,の偶数乗[×定数]の和差だけで表せることと,が偶関数であることは関係がある.…偶関数であることの直接証明は:

すべての関数が,偶関数か奇関数のどちらかに分類されるわけではない.偶関数±奇関数で書かれる関数,例えば,のような関数は,偶関数でも奇関数でもない.これに関連して,次のことが言える.
「任意の関数は,偶関数と奇関数の和で表せる.」
(証明)

は成り立つ.ここで

とおくと

が成り立つから,は偶関数,は奇関数である.
よって,任意の関数は偶関数と奇関数の和で表せる.(証明終)
グラフ
【例】
と書ける.これらの関数は,

とも書かれ,双曲線関数と呼ばれる.双曲線関数は偶関数,は奇関数である.

簡単復習
 次の各関数が偶関数か奇関数か,根拠も付けて答えてください.
(1)
(2)
(3) は実数の定数)
(4)
(解答)
(1) だからが成り立つ.したがって,は奇関数
(2) にもにも(恒等的には)等しくない.したがって,は偶関数でも奇関数でもない
(3) のとき,であるから,は偶関数
 のとき,であるから,は偶関数かつ奇関数
(4) にもにも(恒等的には)等しくない.したがって,は偶関数でも奇関数でもない
●==目次に戻る