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高校〜大学基礎の数学用語.公式.例
1. 記号の定義
 は3次元空間の基本ベクトル,はスカラー,はベクトルとする.
[勾配]

[発散]

[回転]

[ラプラシアン]


2. ナブラと内積,外積を用いた表現
[ナブラ]

もしくは

を用いると,上記の定義は次のように書ける.
[勾配]…ベクトルのスカラー倍として書ける

[発散]…ナブラとベクトルの内積として書ける

[回転]…ナブラとベクトルの外積として書ける



行列式で書けば

[ラプラシアン]…ナブラとナブラの内積として書ける



(参考)
ナブラと内積,外積を用いた表現で機械的に処理するには,次のように行うとよい


に対して,内積,外積については次の一覧表によって計算する.通常の場合,内積(・)は第1変数と第2変数(左右)を入れ換えても結果は変わらない.ただし,下記の注参照.外積(×)は第1変数と第2変数を入れ換えると符号が変わる.下の表では左欄を第1変数(左側),上欄を第2変数(右側)として計算する.
-表1-
100
010
001
-表2-

例えば

展開すると



ここで上の表により,各々のを値に変えると

(注)
ナブラとベクトルの内積は,第1変数(左から掛けるもの)と第2変数(右から掛けるもの)を入れ換えると,意味が変わる点に注意

は,発散を表すのに対して

は演算子で,右側にスカラー関数を付けたときに,何かの量を表す



展開すると



ここで上の表により,各々のをベクトルに変えると





3. grad, div, rot に関する公式
(1)はスカラー関数とする


≪定義通りに計算すれば≫




≪ベクトルの内積・外積で表せば≫


≪定義通りに計算すれば≫

積の微分法:により



したがって




≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
ベクトルの実数倍(定数倍)の公式では,であるが,ナブラ

は微分演算子であるからスカラー関数と左右入れ換えることはできない.
 また,ベクトルの実数倍(定数倍)の公式では,であるが,上記のようにナブラは微分演算子であるから,積の微分法が成り立ち,などとは変形できない.結論から言えば,をナブラで表すと,となる.


(解説)
後で登場するを変形すれば,この公式が得られる.



≪定義通りに計算すれば≫



≪ベクトルの内積・外積で表せば≫




≪定義通りに計算すれば≫






≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
内積の展開公式がそのまま使える




≪定義通りに計算すれば≫

積の微分法:
などにより



右辺は
だから等しい
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫


※積の微分が含まれているから,ベクトルの公式のままではない


≪ベクトルの内積・外積で表せば≫









≪定義通りに計算すれば≫






積の微分法:
などにより






≪ベクトルの内積・外積で表せば≫





初めの方で示した表2により,各々のベクトルを書き換えると








初めの方に示した表1により,基本ベクトルの内積を0と1に書き換えると



各々,積の微分法によって微分する








≪定義通りに計算すれば≫





連続関数については,偏微分の順序を交換しても等しいから

などが成り立つ
したがって

≪結果をベクトルの内積・外積で表せば≫
のように対応させると




≪定義通りに計算すれば≫













≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
外積の展開公式がそのまま使える




≪定義通りに計算すれば≫





積の微分法:
などにより








≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
と対応させると



≪定義通りに計算すれば≫





連続関数については,偏微分の順序を交換しても等しいから

などが成り立つ
したがって,
≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
のように対応させると



≪定義通りに計算すれば≫






x成分は

を足して引くと



同様にして,y,z成分は各々


まとめると


≪結果をベクトルの内積・外積で表せば≫
のように対応させると

は,次の形に書ける




≪定義通りに計算すれば≫

xによる微分の部分は




同様にして,y,zによる微分の部分は


これらを加えると




≪ベクトルの内積・外積で表せば≫
前記の結果により


また
により




結局


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