合成関数，逆関数

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高校～大学基礎の数学用語.公式.例

合成関数

conposite function

用語

　関数 $z=g(y),\hspace{3}y=f(x)$ に対して，関数 $z=g(f(x))$ を $f$ と $g$ の合成関数といい， $g\circ f(x)$ または $(g\circ f)(x)$ で表す．

話題

「 $f$ と $g$ の合成関数」という場合の名前の順序（ $f$ と $g$ ）は， $g\circ f(x)$ の記号の順序ではなく， $x$ に対して関数が作用する順序を表す．［右図参照］

記号

　 $f(x)$ と $g(x)$ の合成関数が， $g(f(x))$ を表し， $g\circ f$ で表すことについては，教科書による違いはない．
　関数の変数（引数）を入れる括弧の書き方としては， $(g\circ f)(x)$ という書き方と $g\circ f(x)$ という書き方がある．
　どちらが正しいかということではなく，どちらでもよいが，2019年現在，高校数学Ⅲの教科書・参考書では $(g\circ f)(x)$ の方が多い．

重要

　合成関数は， $x,\hspace{3}y,\hspace{3}z$ という文字に依存しているのでなく，「どの関数の変数の代わりに，どの関数を代入するか」に着目したものなので，変数を両方とも $x$ で書いた場合
$f(x)$ と $g(x)$ の合成関数は $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ ，
$g(x)$ と $f(x)$ の合成関数は $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
ということになる．

例

• 関数 $f(x)=x^2$ と $g(x)=2x+ 1$ の合成関数 $g\circ f(x)$ は， $g(x)$ の変数 $x$ の代わりに，関数 $f(x)$ を代入したものと考えて
$g\circ f(x)=g(f(x))=2(x^2)+ 1=2x^2+ 1$

文字 $y,\hspace{2}z$ を使って2段構えで考える場合は
$z=2y+ 1$
$y=x^2$

$z=2x^2+ 1$

例

• 関数 $g(x)=2x+ 1$ と $f(x)=x^2$ の合成関数 $f\circ g(x)$ は， $f(x)$ の変数 $x$ の代わりに，関数 $g(x)$ を代入したものと考えて
$f\circ g(x)=f(g(x))=(2x+ 1)^2$

文字 $y,\hspace{2}z$ を使って2段構えで考える場合は
$z=y^2$
$y=2x+ 1$

$z=(2x+ 1)^2$

重要

　2か所以上に変数が見えている場合は，その全部に代入しなければならない．

例

関数 $f(x)=x-1$ と $g(x)=x^2+ 2x$ の合成関数
$g(f(x))=(x-1)^2+ 2(x-1)$

例

関数 $g(x)=x^2+ 3x$ と $f(x)=\frac{x+ 1}{x-1}$ の合成関数
$f(g(x))=\frac{x^2+ 3x+ 1}{x^2+ 3x-1}$

関数の合成についての結合法則，交換法則

定理

　関数の合成については
(1) 結合法則が成り立つ．（次の関係がつねに成り立つ）
$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
(2) 交換法則は成り立たない．（次の関係は，つねに成り立つとは限らない=成り立たない場合がある）
$g\circ f\ne f\circ g$

（証明）
(1) 各々の関数はその定義域において考えるものとするとき，関数の合成について「結合法則が成り立つ」とは， $f(x)$ と $g(x)$ の合成関数に $h(x)$ を合成した場合
$h\circ(g\circ f)$
$f(x)$ に $g(x)$ と $h(x)$ の合成関数を合成した場合
$(h\circ g)\circ f$
とが「つねに等しい」ことをいう．（どちらの合成を先に行うかによって，３つの関数を合成した結果が変わらないというのが結合法則）
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ を $h(x)$ の $x$ に代入すると
$h(g(f(x)))$
$f(x)$ を $(h\circ g)(x)=h(g(x))$ の $x$ に代入すると
$h(g(f(x)))$
これらは等しいから，結合法則が成り立つ．

(2) 交換法則が成り立たないことを示すには，１つでも成り立たない例［反例］があることを示せばよく，つねに成り立たない［全否定］ことを示すのではない．
　例えば， $f(x)=x^2,\hspace{3}g(x)=x-1$ とすると
$(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2-1$
$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x-1)^2$
となるから，これらの関数は恒等的には一致しない．

話題

　高校数学で，「結合法則が成立し，交換法則が成立しないもの」の例として，他に行列の積がある．
　例えば，2×2の行列 $A,\hspace{2}B,\hspace{2}C$ があるとき，
$(AB)C=A(BC)$ はつねに成立する
$AB=BA$ は成立するとは限らない

話題

　中学高校では，括弧が二重，三重になる場合に，内側から順に小括弧，中括弧，大括弧を使って入れ子にすることが多いが，このように決めてしまうと，四重以上になる場合に記号がなくなって困る．
　大学やコンピュータ関連では，何重になっても(　)の1種類だけで表す場合が多い．これで何も混乱は起こらない．
　おそらく関数はf(x)のように(　)で書くことになっているらしく，関数の合成に関して，h[g{f(x)}]などと書かれたものを見たことがない．
　なお，括弧の読み方も様々である．
(　) → 括弧，小括弧，パーレン
{　} → 中括弧，波括弧，ブレース
[　] → 角括弧，大括弧，ブラケット

合成関数の定義域と値域

話題

　関数の定義域は，指定がある場合はそれに従い，特に指定がない場合は，関数が意味をもつ限りでなるべく広い範囲をとります．
　関数 $f(x)$ の定義域が $A$ で，これに対応する値域が $B$ ，関数 $g(x)$ の定義域が $C$ で，これに対応する値域が $D$ のとき，合成関数 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ の定義域と値域は次のように決まる．
　まず，関数 $g(x)$ の定義域が $B\cap C$ になり，値域はその像 $g(B\cap C)$ ．
　次に，関数 $f(x)$ の値域が $B\cap C$ になり，定義域はその原像
　理屈や用語がややこしいですが，実際には問題を見れば分かります．

例

関数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ と $g(x)=x+ 1$ の合成関数 $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}+ 1$ の定義域と値域を求める．

　 $f(x)$ の定義域が $[-1,\hspace{2}1]$ で，値域が $[0,\hspace{2}1]$ ， $g(x)$ の定義域が全実数で値域が全実数だから，合成するときの $g(x)$ の定義域は $[0,\hspace{2}1]$ と全実数の共通部分で， $[0,\hspace{2}1]$ ，値域は $[1,\hspace{2}2]$
　値域 $[0,\hspace{2}1]$ に対応する $f(x)$ の定義域は $[-1,\hspace{2}1]$
　以上から，合成関数 $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}+ 1$ の定義域は $[-1,\hspace{2}1]$ で値域は $[1,\hspace{2}2]$

ただし，「関数が意味をもつ限りでなるべく広い範囲をとる」ことに注意すると，定義域が $[-1,\hspace{2}1]$ で値域が $[1,\hspace{2}2]$ となることは，合成関数の形を見たら分かるようになっている．

例

関数 $g(x)=x+ 1$ と $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ の合成関数 $(f\circ g)(x)=\sqrt{1-(x+ 1)^2}$ の定義域と値域を求める．

　 $g(x)$ の定義域が全実数で値域が全実数， $f(x)$ の定義域が $[-1,\hspace{2}1]$ で，値域が $[0,\hspace{2}1]$ だから，合成するときの $f(x)$ の定義域は $[-1,\hspace{2}1]$ と全実数の共通部分で， $[-1,\hspace{2}1]$ ，値域は $[0,\hspace{2}1]$
　値域 $[-1,\hspace{2}1]$ に対応する $g(x)$ の定義域は $[-2,\hspace{2}0]$
　以上から，合成関数 $(g\circ f)(x)=\sqrt{1-(x+ 1)^2}$ の定義域は $[-2,\hspace{2}0]$ で値域は $[0,\hspace{2}1]$

ただし，「関数が意味をもつ限りでなるべく広い範囲をとる」ことに注意すると， $-1\underline{\le}x+ 1\underline{\le}1\rightarrow -2\underline{\le}x\underline{\le}0$ から定義域が $[-2,\hspace{2}0]$ で値域が $[0,\hspace{2}1]$ となることは，合成関数の形を見たら分かるようになっている．

用語

　集合XからYへの対応 $y=f(x)$ について
• $f(x)$ の値域がY全体であるとき， $f(x)$ はXからYの上への写像（または全射）という．
• 異なる $x$ の値には異なる $y$ の値が対応するとき
$x_1\ne x_2\rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$
対偶で言えば
$f(x_1)=f(x_2)\rightarrow x_1=x_2$
となるとき， $f(x)$ は1対1の写像（または単射）であるという．
• 全射かつ単射（全単射）であるとき，逆写像が存在する．
• 写像の内で，定義域と値域がどちらも実数の集合であるものを関数という．
• 関数の内で定義域と値域が同じ集合であるものを変換という．

逆関数

inverse function

用語

　関数 $y=f(x)$ が各々の $x$ の値に対して $y$ の値を対応させるとき，各々の $y$ の値に対して元の $x$ の値を対応させる関数を $f(x)$ の逆関数といい， $f^{-1}(x)$ で表す．

例

関数 $y=f(x)=2x+ 1$ を変形して， $y$ の値に対して $x$ の値を対応させる関数にすると，
$x=\frac{y-1}{2}$
となる．
　したがって
$f(x)=2x+ 1\hspace{3}\overset{\rightarrow}{\leftarrow}\hspace{3}f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}$
の $f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}$ が $y$ から $x$ への対応を示す逆関数であるが，関数を文字に依存せずに考えて，独立変数を $x$ で，従属変数を $y$ で表す習慣に従って書き，逆関数は
$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$
と書くのが普通である．

記号

　ここでは， $f^{-1}(x)$ における $^{-1}$ という記号を「逆の」ということを表すための専用の記号として使っていることに注意．
　すなわち，数学の他の分野で $2^{-1}=\frac{1}{2}$ などと分数を表すのとは異なり， $f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$ のことではない．また， $f^{-2}(x),\hspace{3}f^{-3}(x)$ や $f^{-\frac{1}{2}}(x)$ などの意味が自動的に定まるわけではない．
　高校以上の数学で，この $^{-1}$ という記号を「逆の」ということを表すための専用の記号として使う例として，他の分野には行列がある．行列では $A^{-1}$ は行列 $A$ の逆行列を表すが， $BA^{-1}$ は $B\div A$ を表さず，そもそも行列の割り算というものを考えない．

重要

　ある関数 $f(x)$ に対してその逆関数 $f^{-1}(x)$ が存在するためには，元の関数 $f(x)$ は1対1対応の関数（単射ともいう）でなければならない．

（解説）
　図1，図2のように，異なる $x$ には異なる $y$ が対応しているとき，これらの関数 $f(x)$ は1対1対応の関数であるという．
　1対1対応の関数では， $y$ の値を定めると，これに対応する $x$ がただ1つ定まる．

- 図1 -

- 図2 -

- 図3 -

　これに対して，図3のようなグラフでは，異なる $x$ に同じ $y$ が対応しているので， $y$ の値を定めたときに，これに対応する元の $x$ の値はただ1つに定まらない．
　図1，図2と図3を比較すると，図1は単調増加関数，図2は単調減少関数になっていて， $y$ の値を定めたときに，これに対応する元の $x$ の値はただ1つに定まるのに対して，図3は減少の区間と増加の区間とがあって，全体が谷形になっている．図3のようなグラフでは， $y$ の値を定めたとき（ $x$ 軸に平行な直線を引いたとき），グラフと2か所で交わるので，対応する $x$ の値が2つあるところが違う．この事情は山形（増加の後に減少になる）のグラフでも同様である．そこで，次のことが言える．

重要

　区間 $[a,\hspace{2}b]$ において連続な関数 $f(x)$ に逆関数 $f^{-1}(x)$ が存在するためには， $f(x)$ はこの区間において単調な関数（単調増加関数または単調減少関数）でなければならない．

（解説）
　連続という条件を外せば，例えば右図の関数

$x$ が無理数のとき $y=x$
$x$ が有理数のとき $y=x+ 1$
という関数を考えると，同じ $y$ の値は登場しないから，逆向きの対応を作ることができる．

$y$ が無理数のとき $x=y$
$y$ が有理数のとき $x=y-1$
　このように，逆関数の存在条件として，単調増加または単調減少という条件が付くのは，連続関数の場合です．

　集合 $X$ から集合 $Y$ への対応を表す右図のグラフにおいて， $Y$ 上の数字0, 1, 2はその $y$ の値に対応している $x$ の値の個数とする．
　右の関数 $y=f(x)$ に逆関数が存在しない理由は2点に分けて示すことができる．
(1) $y$ の値の内で赤字で0と書いた区間には，対応する $x$ の値がない（ $Y$ の「上への写像」「全射」になっていない）から，この区間の $y$ の値に対する元の $x$ の値がない．
(2) $y$ の値の内で濃い青字で2と書いた区間には，対応する $x$ の値が２つある（「1対1の写像」「単射」になっていない）から，この区間の $y$ の値に対する元の $x$ の値が１つに定まらない．
　このように「上への写像」でない場合や「1対1の写像」でない場合には， $y$ の値に対する元の $x$ の値が決まらないから，逆関数が決まらない．
　これに対して，「上への1対1の写像」「全単射」になっている場合には，どの $y$ の値に対しても元の $x$ の値が決まるから，逆関数が定まる．

※ただし，「1対1の写像」については厳格に考えるが，「与えられた関数が意味を持つ範囲で，なるべく広い範囲で定義域を考える」という立場をとおて，「上への写像」「全射」については緩やかに考えてよいことが多い．

例

　 $y=f(x)=\sqrt{x}$ という関数は， $y\lt 0$ となる値をとらず，実数全体の「上への写像」「全射」になっていないから，逆関数はないと切り捨てたりはしない．
　この関数が意味を持つなるべく広い範囲を考えて， $y=f(x)=\sqrt{x}\hspace{5}(x\underline{\ge}0,\hspace{2}y\underline{\ge}0)$ として $X=\{\hspace{2}x\hspace{2}\mid\hspace{2}x\underline{\ge}0\}$ から $Y=\{\hspace{2}y\hspace{2}\mid\hspace{2}y\underline{\ge}0\}$ への写像と解釈する．このように定義域と値域を限定すると， $Y=\{\hspace{2}y\hspace{2}\mid\hspace{2}y\underline{\ge}0\}$ から $X=\{\hspace{2}x\hspace{2}\mid\hspace{2}x\underline{\ge}0\}$ への対応， $x=f^{-1}(y)=y^2\hspace{5}(x\underline{\ge}0,\hspace{2}y\underline{\ge}0)$ が得られます．
　 $x$ を独立変数， $y$ を従属変数とする習慣に従って，文字を入れ換える場合は， $y=f^{-1}(x)=x^2\hspace{5}(y\underline{\ge}0,\hspace{2}x\underline{\ge}0)$ になります．

例

　 $y=f(x)=\log_e x$ という関数は， $x\underline{\le}0$ のとき定義されないから関数ではないと切り捨てたりはしない．
　この関数が意味を持つなるべく広い範囲を考えて， $y=f(x)=\log_e x\hspace{5}(x\gt 0,\hspace{2}-\infty\lt y\lt\infty)$ として $X=\{\hspace{2}x\hspace{2}\mid\hspace{2}x\gt 0\}$ から $Y=\{\hspace{2}y\hspace{2}\mid\hspace{2}-\infty\lt y\lt\infty\}$ への写像と解釈する．このように定義域を限定すると， $Y=\{\hspace{2}y\hspace{2}\mid\hspace{2}-\infty\lt y\lt\infty\}$ から $X=\{\hspace{2}x\hspace{2}\mid\hspace{2}x\gt 0\}$ への対応， $x=f^{-1}(y)=e^y\hspace{5}(x\gt 0,\hspace{2}-\infty\lt y\lt\infty)$ が得られます．
　 $x$ を独立変数， $y$ を従属変数とする習慣に従って，文字を入れ換える場合は， $y=f^{-1}(x)=e^x\hspace{5}(y\gt 0,\hspace{2}-\infty\lt x\lt\infty)$ になります．

例

　 $y=f(x)=x^2\hspace{5}(-\infty\lt x\lt\infty,\hspace{2}y\underline{\ge}0)$ という関数は， $Y=\{\hspace{2}y\hspace{2}\mid\hspace{2}y\gt 0\}$ の値に対応する $x$ の値を求めようとしても， $x=\pm\sqrt{y}$ となって，値を１つに定められません．このままでは逆関数は決まりません．

例

　 $y=f(x)=(x-1)^2+ 2\hspace{5}(-\infty\lt x\lt\infty,\hspace{2}y\underline{\ge}2)$ という関数も， $Y=\{\hspace{2}y\hspace{2}\mid\hspace{2}y\gt 2\}$ の値に対応する $x$ の値を求めようとしても， $x-1=\pm\sqrt{y-2}$ となって，値を１つに定められません．このままでは逆関数は決まりません．

重要

　ある関数 $f(x)$ に逆関数 $f^{-1}(x)$ が存在するとき
$f\circ f^{-1}(x)=x$ （恒等写像）
$f^{-1}\circ f(x)=x$ （恒等写像）
が成り立つ．

※
$f\circ g(x)=I(x)=x$
$g\circ f(x)=I(x)=x$
が成り立つとき， $g(x)$ を $f(x)$ の逆関数（ $f(x)$ を $g(x)$ の逆関数）と定義してもよい．

用語

　（定義域に属する）すべての $x$ の値に対して， $I(x)=x$ となる写像を恒等写像という．（自分自身に等しい関数 $y=x$ のこと）

（解説）
　行ってから戻れば，元に戻るから明らか

例

$f(x)=e^x$ の逆関数は $f^{-1}(x)=\log x$
$f\circ f^{-1}=f(f^{-1}(x))=e^{\log x}=x$
$f^{-1}\circ f=f^{-1}(f(x))=\log(e^x)=x$

例

$f(x)=\sin x\hspace{3}(-\frac{\pi}{2}\underline{\le}x\underline{\le}\frac{\pi}{2})$ の逆関数は $f^{-1}(x)=\arcsin x$
$f\circ f^{-1}(\frac{1}{2})=f(f^{-1}(\frac{1}{2})$
$=\sin(\arcsin\frac{1}{2})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$
$f^{-1}\circ f(\frac{\pi}{6})=f^{-1}(f(\frac{\pi}{6}))$
$=\arcsin(\sin\frac{\pi}{6})=\arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$

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