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高校〜大学基礎の数学用語.公式.例

区間
interval
用語
 実数の部分集合を区間という.
 端点(たんてん)を含まない区間開区間といい,で表す.
 端点を含む区間閉区間といい,で表す.
 片方の端点のみ含む区間半開区間と呼ばれ,各々で表される.
話題
 無限大や負の無限大は特定の数ではないが,これらを端点とする区間を表すときは,必ず開区間(半開区間)で表す.
もしくは
もしくは
もしくは
• 無理関数は,半開区間で連続である.
• 対数関数は,開区間で連続である.
• 三角関数,指数関数は,開区間で連続である.
話題
 関数の連続性は,区間の端点も含めて考えることができるが,微分可能性は区間の端点では考えられない.そこで,平均値の定理など,連続性と微分可能性について述べる場合,「閉区間で連続で,開区間で微分可能であるとき,...」のように書かれることが多い.

単調関数
monotone function
用語
 区間Iで定義された関数
ならば
を満たすとき,は区間Iで単調増加であるといい,単調増加関数という.
 区間Iで定義された関数
ならば
> を満たすとき,は区間Iで単調減少であるといい,単調減少関数という.
 単調増加関数と単調減少関数を総称して単調関数という.
話題
** 極値はどっちの味方か?**
【例】
において単調増加であり,において単調減少である.
 導関数の符号によって関数の増減を調べると,だから,のときとなり,のときとなる.高校で微分の基本を学んだ人にとって,開区間において単調増加であり,開区間において単調減少であることについては,異論がないでしょう.
 しかし,初めの式をよく見ると,は単調増加の区間にも,単調減少の区間にも入っているのであるから,「獣軍団と鳥軍団の両方に付いているコウモリ」のようになっており,「極値はどっちの味方なんだ!」と関心を持つのも悪くない.
 一般に次のようにまとめることができる.
閉区間で連続,開区間において微分可能な関数が,開区間においてつねにならば閉区間において単調増加(減少)であるといえる…通俗的に言えば,単調増加,単調減少は端点を「飲み込む」(=数学用語ではない)ことができる.
 このようにして,一般に極値となっている点は,(コウモリのように)単調増加の区間にも,単調減少の区間にも入る.
話題
**(続き)**
【例】
 次の図はのグラフで,極値は増加の区間にも減少の区間にも入る.
において単調増加
において単調減少
※ただし,高校では,次の表のように増減表と極値を作成することが多いので,「において単調増加(減少)」のように文章で書く場合だけではない.
極小極大
話題
**(つながってしまう場合)**
【例】
 次の図はのグラフで,だから,のときのときとなる.
 したがって,のとき単調増加,のとき単調増加となり,結局
のとき単調増加
と言える.
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