指数関数

高校～大学基礎の数学用語.公式.例

話題

無理数の指数

$a\gt 0,\hspace{2}a\ne 1$ となる数 $a$ に対して， $a^x$ の値は

(1) $x$ が正の整数のとき， $a$ を $x$ 回かけた値を表す．

例

$2^1=2$
$2^2=2\times 2=4$ →図の青丸

(2) $x$ が負の整数 $x=-n\hspace{2}(n\gt 0,\hspace{2}x\lt 0)$ のとき， $a^n$ の逆数 $a^x=a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ を表す．

例

$2^{-1}=\frac{1}{2}$
$2^{-2}=\frac{1}{2^2}$ →図の茶色丸

(3) $x=0$ のとき， $a^0=1$ を表す．

例

$2^{0}=1$ →図の黒丸

(4) $x=\frac{m}{n}$ （ $m,\hspace{2}n$ は正の整数）のとき， $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ （累乗根）を表す．

例

$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$
$2^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{2^3}$ →図の明緑丸

(5) $x=-\frac{m}{n}$ （ $m,\hspace{2}n$ は正の整数）のとき， $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ を表す．

例

$2^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
$2^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{2^3}}$ →図の暗緑丸

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(6) ≪ここからがこの項目のテーマ≫
　さて， $2^{\sqrt{3}}$ のように，指数が無理数のとき, $a^{x}$ の値はどのように定まるか？

指数関数 $y=a^{x}$ のグラフを描くためには， $x$ の値が $\sqrt{2},\hspace{2}\sqrt{3},\hspace{2}\sqrt{5},\hspace{2}\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2},...$ など無数にある無理数の場合の $y=a^{x}$ の値を決める必要があります．これを決めなければ，グラフは穴だらけになり「連続」とか「微分」という議論ができなくなります．

　結論から言えば，「指数が無理数のとき, $a^{x}$ の値」は「指数が有理数のときの $a^{x}$ の値」の数列の極限値で定義します．
　例えば， $2^{\sqrt{3}}$ の値を求めるには
(6.1) まず， $\sqrt{3}=1.7320508...$ のように無理数を小数で表示します．
(6.2) 次に
$2^{1.7}=2^{\frac{17}{10}}=\sqrt[10]{2^{17}}=3.249009585...$
$2^{1.73}=2^{\frac{173}{100}}=\sqrt[100]{2^{173}}=3.317278183...$
$2^{1.732}=2^{\frac{1732}{1000}}=\sqrt[1000]{2^{1732}}=3.321880096...$
$2^{1.7320}=2^{\frac{17320}{10000}}=\sqrt[10000]{2^{17320}}=3.321880096...$
$2^{1.73205}=2^{\frac{173205}{100000}}=\sqrt[100000]{2^{173205}}=3.321995226...$
のように必要なだけ詳しく求めます．この数列が収束するとき，その極限値を $2^{\sqrt{3}}$ と決めます．（次のような値になります）
3.321997085483912805157183119647826939159120898002259...

【要約】
「指数が無理数のとき, $a^{x}$ の値」は「指数が有理数のときの $a^{x}$ の値」の数列の極限値で定義する．

グラフ

指数関数のグラフ

　指数関数 $y=a^{x}$ （ $a$ を指数関数の底という）のグラフは，

ア） $a\gt 1$ のとき，上の図のようになる．

【重要な特徴】
◎ どのグラフも $(-\infty,\hspace{2}\infty)$ において連続で
　　単調増加である．

$x_1\lt x_2\rightarrow a^{x_1}\lt a^{x_2}$

例

$1.5^{1}\lt 1.5^{2}$

(1) どのグラフも点 $(0,\hspace{2}1)$ を通る．

$a^0=1$ だから， $y=a^{x}$ のどのグラフも $x=0$ のとき $y=1$ になる．

例

グラフでは赤丸で示した

(2) 各々のグラフは， $(1,\hspace{2}a)$ を通る．

$a^1=a$ だから，各々のグラフは $x=0$ のとき $y=a$ を通る．

例

グラフでは青丸で示した

(3) $1\lt a_1\lt a_2,\hspace{3}x\gt 0$ のとき， $a_1^x\lt a_2^x$

例

グラフの青丸を比較する

(4) $1\lt a_1\lt a_2,\hspace{3}x\lt 0$ のとき， $a_1^x\gt a_2^x$

例

グラフの青□を比較する

イ） $a\lt 1$ のとき，上の図のようになる．

【重要な特徴】
◎ どのグラフも $(-\infty,\hspace{2}\infty)$ において連続で
　　単調減少である．

$x_1\lt x_2\rightarrow a^{x_1}\gt a^{x_2}$
【例】 $0.8^{1}\gt 0.8^{2}$

(1) どのグラフも点 $(0,\hspace{2}1)$ を通る．

$a^0=1$ だから， $y=a^{x}$ のどのグラフも $x=0$ のとき $y=1$ になる．
【例】グラフでは赤丸で示した

(2) 各々のグラフは， $(1,\hspace{2}a)$ を通る．

$a^1=a$ だから，各々のグラフは $x=0$ のとき $y=a$ を通る．
【例】グラフでは青丸で示した

(3) $a_1\lt a_2\lt 1,\hspace{3}x\gt 0$ のとき， $a_1^x\lt a_2^x$

【例】グラフの青丸を比較する

(4) $a_1\lt a_2\lt 1,\hspace{3}x\lt 0$ のとき， $a_1^x\gt a_2^x$

【例】グラフの青□を比較する

簡単復習

　次の２数の大小を比較してください．（不等号を使って表してください．）
(1) $2^{\frac{2}{3}},\hspace{3}2^{\frac{3}{4}}$
(2) $0.5^{-0.2},\hspace{3}0.5^{-0.3}$
(3) $1.5^{-1.3},\hspace{3}2.5^{-1.3}$
(4) $0.6^{0.7},\hspace{3}0.7^{0.6}$

（解答）
(1) 底 $a=2\gt 1$ のとき， $2^x$ のグラフは単調増加であるから， $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\lt\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ により， $2^{\frac{2}{3}}\lt 2^{\frac{3}{4}}$
(2) 底 $a=0.5\lt 1$ のとき， $0.5^x$ のグラフは単調減少であるから， $-0.2\gt -0.3$ により， $0.5^{-0.2}\lt 0.5^{-0.3}$
(3) $1\lt a_1\lt a_2,\hspace{3}x\lt 0$ のとき， $a_1^x\gt a_2^x$ …ア）(4)の□の比較により $1.5^{-1.3}\gt 2.5^{-1.3}$
(4) $a_1\lt a_2\lt 1,\hspace{3}x\gt 0$ のとき， $a_1^x\lt a_2^x$ …イ）(3)の○の比較により $0.6^{0.7}\lt 0.7^{0.7}$
$0.7^{x}$ は単調減少関数だから $0.7^{0.7}\lt 0.7^{0.6}$
したがって， $0.6^{0.7}\lt 0.7^{0.6}$

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