■平行板コンデンサの静電容量

【コンデンサの電気容量】
 それぞれのコンデンサに蓄えられる電気量Q[C]は,電圧V[V]に比例する.このときの比例定数C[F]はコンデンサごとに一定の定数となり,静電容量と呼ばれファラド[F]の単位で表される.
Q=CV
【平行板コンデンサの静電容量】
 平行板コンデンサの静電容量C[F]は,平行板電極の(片方の)面積S[m2]に比例し,板間距離d[m]に反比例する.真空の誘電率をε0とするとき
C=ε0
 極板間を誘電率εの絶縁体で満たしたときは
C=ε
 一般には,誘電率は真空中との誘電率の比(比誘電率)εrを用いて表され,
ε=ε0εr
 特に,空気の誘電率は真空と同じでεr=1.0となる.
(解説)
 ○図1のように1つのコンデンサ(蓄電器)の両端に電圧を加えると,2つの電極板が絶対値の等しい正の電荷+Q[C]と負の電荷−Q[C]に帯電する.この電荷(電気量)Q[C]は,加えられた電圧に電圧V[V]に比例し,その比例定数Cはコンデンサごとに一定で,静電容量と呼ばれる.
図1のように,加える電圧を増加すると,蓄えられた電気量は増加する.

 ○図2右上のように,平行板コンデンサの極板面積を大きくすると,静電容量C[F]はその面積に比例して大きくなる.
 図3のようなバリアブルコンデンサ(バリコン)を使うと,極板面積を変えることができる.また,図4のようにコンデンサを並列に接続すると,コンデンサの極板面積を増加させたことと同じことになり,静電容量C[F]は大きくなる.
図3において,1つのコンデンサの静電容量を
C=ε とすると,全体では面積が2倍になるから
C’=ε =2Cと静電容量は2倍になる.
このとき,もし電圧が変化していなければQ’=2CV=2Qとなり,蓄えられた電荷も2倍になる.

 ○図2左下のように,板間距離を大きくすると
C=ε
の分母dが大きくなるから,静電容量C[F]は小さくなる.
(1)  図2の左下図において,コンデンサにQ[C]の電荷が蓄えられた状態(一方の極板には+Q[C]の,他方の極板には−Q[C]の電荷がある)で回路から切り離されているとき,これらの電荷は変化しないから,外力を加えて極板間距離を広げると
C=ε により静電容量Cが減少し,
Q=CVV=により,電圧が高くなる.

(2) 図2の左下図において,コンデンサに電源からV[V]の電圧がかかった状態で,外力を加えて極板間距離を広げると
C=ε により静電容量Cが減少し,
Q=CVにより,電荷が減少する.

 右図5のように,V[V]の電圧がかかっているところに2つのコンデンサを並列に接続すると,各電極板の電荷は正負の符号のみ異なり大きさは同じになるが,電圧が2つに分けられてそれぞれ半分ずつになるため
C=となるのも同様の事情による.

(3) 図2右下のように,コンデンサの極板間に誘電率(誘電率ε[比誘電率εr>1])の絶縁体を入れると
C=ε0 C’=ε 0εr
となって,静電容量が増える.

 もし,コンデンサにQ[C]の電荷が蓄えられた状態(一方の極板には+Q[C]の,他方の極板には−Q[C]の電荷がある)で回路から切り離されているとき,これらの電荷は変化しないから,誘電率ε[比誘電率εr>1])の絶縁体を入れると,
C=ε により静電容量Cが増加し,
Q=CVV=により,電圧が下がる.


 もし,コンデンサに電源からV[V]の電圧がかかった状態で,誘電率ε[比誘電率εr>1])の絶縁体を入れると,
C=ε により静電容量Cが増加し, Q=CVにより,
電荷が増える.

 もし,図6のように半分を空気(誘電率はεr:真空と同じ)で半分を誘電率ε(比誘電率εr>1)の絶縁体で埋めると,それぞれ面積が半分のコンデンサを並列に接続したものと同じになり
C’=ε0 0εr 0 =C
になる.
※ コンデンサは別名キャパシタとも呼ばれる(英語圏).これに対応して,静電容量はキャパシタンスと呼ばれ,その単位がファラドという関係になる.

図1
図2
ε0=8.85×10−12

図3
図4
図5
図6



※試験問題などにおいては「コンデンサの端効果は無視できる」と書かれていることがある.
 平行板コンデンサにおいては,図7のように電気力線が外側に膨らむ傾向があり,これを考慮すると静電容量の計算はとても複雑な式になる.しかし,極板の面積が極板間の間隔に比べて十分大きい場合には,極板間の電気力線は等間隔の平行線と見なすことができ,膨らみを考慮しなくてもよい.このような場合に「コンデンサの端効果は無視できる」という.
 コンデンサの端効果が無視できると書かれているときは,安心して
C=ε
の公式が使える.

図7
[問題1]
図のように,面積S[m2]の電極板からなる平行板コンデンサがある。この電極板と平行に同じ形の導体平板を図に示す間隔で入れ,このコンデンサの両端の電極に120[V]の直流電圧を加えて充電した。このとき,図中の電圧V0[V]の値として,正しいのは次のうちどれか。
ただし,電極板間の誘電体の誘電率は同一とし,充電前の電極及び導体平板の初期電荷は零とする。また,電極板及び導体平板の厚さ並びにこれらの端効果は,無視できるものとする。

(1) 0 (2) 30 (3) 60 (4) 90 (5) 120


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成14年度「理論」問2
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.
[問題2]
真空中において,一辺l[m]の正方形電極を間隔d[m]で配置した平行板コンデンサがある。図1はこのコンデンサの電極板間に比誘電率εr=3の誘電体を挿入した状態,図2は図1の誘電体を電極面積のだけ引き出した状態を示している。図1及び図2の二つのコンデンサの静電容量C1[F]及びC2[F]の比(C1C1)として,正しいものは次のうちどれか。
ただし,l≫dであり,コンデンサの端効果を無視できるものとする。

(1) 2:1 (2) 3:1 (3) 3:2 (4) 4:3 (5) 5:4


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成15年度「理論」問2
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.
[問題3]
真空中において,面積S[m2]の電極板を間隔d[m]で配置した平行板コンデンサがある。この電極板と同じ形をした厚さ[m],比誘電率2の誘電体を図に示す間隔で平行に挿入した。このとき,誘電体を挿入する前と比較してコンデンサの静電容量[F]は何倍になるか。その倍率として最も近いのは次のうちどれか。
ただし,電極板の厚さ並びにコンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) 1.3 (2) 1.5 (3) 2.0 (4) 2.5 (5) 3.0


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成16年度「理論」問1
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.

【誘電体と電界の強さ】
 誘電率εの誘電体において,+Q[C]の電荷からは
本の電気力線が出ている.
 面積がS[m2]の平行板コンデンサの陽極と陰極にそれぞれ+Q[C],−Q[C]の電荷があるときは,電界の強さは
E=
になる.
(解説)
○ クーロンの法則によれば,誘電率εの誘電体中において+Q[C]の電荷から,距離r[m]離れた点における電界の強さは
E=
 ところで,半径r[m]の球の表面積は4πr2であるから,上のことは+Q[C]の電荷から全部で
×4πr2=本の電気力線が出ていて
これを4πr2[m2]の面積で分けたときに,「単位面積当たりの電気力線の本数」(=電界の強さ)が
E=
となることを示している.
 図9のように,面積がS[m2]の平行板コンデンサの陽極と陰極にそれぞれ+Q[C],−Q[C]の電荷があるときは,この平行板コンデンサの極板間における電界の強さは
E=
になる.

○ 一般に,金属とは異なり誘電体の中には自由電子はないので電気は流れないが,図10のように+−が相殺される部分(灰色の部分)を除けば,全体として外部の静電気を弱めるような分極が起る.
 そのため誘電率εが大きいほど電界は弱くなる.
 真空の誘電率ε0,比誘電率εrを用いると
ε=ε0εr
と書けるから,電界の強さは比誘電率に反比例する.
図10
[問題4]
電極板の間隔がd0[m],電極板面積が十分に広い平行板空気コンデンサがある。このコンデンサの電極板間にこれと同形,同面積の厚さd1[m],比誘電率εrの誘電体を図のように挿入した。いま,このコンデンサの電極AB+Q[C],−Q[C]の電荷を与えた。次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし,コンデンサの初期電荷は零とし,端効果は無視できるものとする。また,空気の比誘電率は1とする。

(a) 空げきの電界E1[V/m]と誘電体中の電界E2[V/m]の
を表す式として,正しいのは次のうちどれか。
(1) εr (2) (3)
(4) (5)


(b) 電極板の間隔d0=1.0×10−3[m],誘電体の厚さd1=0.2×10−3[m]及び誘電体の比誘電率εr=5.0としたとき,空げきの電界E1=7×104[V/m]であった。コンデンサの充電電圧V[V]の値として,正しいのは次のうちどれか。
(1) 100.8 (2) 70.0 (3) 67.2 (4) 58.8 (5) 56.7


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成17年度「理論」選択問題 問18
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.


[問題5]
極板A-B間が誘電率ε0[F/m]の空気で見たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長をd[m],静電容量をC0[F]とし,極板間の直流電圧をV0[V]とする。極板と同じ形状と面積を持ち,厚さが[m],誘電率ε1[F/m]の固体誘電体(ε10)を図に示す位置P-Q間に極板と平行に挿入すると,コンデンサ内の電位分布は変化し,静電容量はC1[F]に変化した。このとき,誤っているものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
ただし,空気の誘電率をε0,コンデンサの端効果は無視できるものとし,直流電圧V0[V]は一定とする。

(1)位置Pの電位は,固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。

(2)位置Qの電位は,固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。

(3)静電容量C1[F]は,C0[F]よりも大きくなる。

(4)固体誘電体を導体に変えた場合,位置Pの電位は固体誘電体又は導体挿入する前よりも上昇する。

(5)固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量C2[F]は,C0[F]よりも大きくなる。



 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成24年度「理論」選択問題 問2
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.
[問題6]
図に示すように,電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一の2種類の平行平板コンデンサがあり,一方を空気コンデンサA,他方を固体誘電体(比誘電率εr=4)が満たされたコンデンサBとする。両コンデンサにおいて,それぞれ一方の電極に直流電圧V[V]を加え,他方の電極を接地したとき,コンデンサBの内部電界[V/m]及び電極板上に蓄えられた電荷[C]はコンデンサAのそれぞれ何倍になるか。その倍率として,正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
ただし,空気の比誘電率を1とし,コンデンサの端効果は無視できるものとする。
内部電界電荷


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成19年度「理論」問2
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.
【電束と電界の強さ】
 電界の様子を考えるときに,1[C]の電荷から1[本]出ている線を考え電束という.+Q[C]の電荷からはQ[本]の電束が出て,−Q[C]の電荷に入る.

Q[C]の電荷⇔Q[本]の電束
 電束は理論上のものであるが,電荷に作用する力の元となる電気力線は誘電率の影響を受ける.
 右図11に示すように,誘電体の中では分極が起るので,誘電率ε(比誘電率εrで表せばε=ε0εr)が大きいほど電気力線の数が少なくなり電界は弱くなる.
+Q[C]の電荷⇔[本]の電気力線
 単位面積当たりの電束を電束密度といいDで表す.
D=

 単位面積当たりの電気力線の数が電界の強さEになる.
E=
図11
[問題7]
図に示すように,誘電率ε0[F/m]の真空中に置かれた静止した二つの電荷A[C]及びB[C]があり,図中にその周囲の電気力線が描かれている。電荷A=16ε0[C]であるとき,電荷B[C]の値として,正しいのは次のうちどれか。
(1) 16ε0 (2) 8ε0 (3) −4ε0 (4) −8ε0 (5) −16ε0


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成19年度「理論」問3
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.
[問題8]
電極板面積と電極板間隔が共にS[m2]とd[m]で,一方は比誘電率がεr1の誘電体からなる平行平板コンデンサC1と,他方は比誘電率がεr2の誘電体からなる平行平板コンデンサC2がある。いま,これらを図のように並列に接続し,端子A, B間に直流電圧V0[V]を加えた。このとき,コンデンサC1の電極板間の電界の強さをE1[V/m],電束密度をD1[C/m2],また,コンデンサC2の電極板間の電界の強さをE2[V/m],電束密度をD2[C/m2]とする。両コンデンサの電界の強さE1[V/m]とE2[V/m]はそれぞれ(ア)であり,電束密度D1[C/m2]とD2[C/m2]はそれぞれ(イ)である。したがって,コンデンサC1に蓄えられる電荷をQ1[C],コンデンサC2に蓄えられる電荷をQ2[C]とすると,それらはそれぞれ(ウ)となる。
ただし,電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は無視できるものとする。また,真空の誘電率をε0[F/m]とする。
上記の記述中の空白箇所(ア),(イ)及び(ウ)に当てはまる式として,正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

(ア)(イ)(ウ)


 一般財団法人電気技術者試験センターが作成した問題
 第三種電気主任技術者試験(電験三種)平成21年度「理論」A問題 問1
 なお,問題及び解説に対する質問等は,電気技術者試験センターに対してでなく,引用しているこのホームページの作者に対して行うものとする.
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