→ スマホ用は別頁
=== 読者が配色を変更したい場合 ===
== センター試験.数U・B-指数.対数関数(2013〜) ==◎外側の色を変えるには,次の色をクリック
【2013年度センター試験.数学U・B】第1問[2](必答問題)
連立方程式 (*)
を満たす実数x, y, zを求めよう。ただし,x≦y≦zとする。 とおくと,x≦y≦zによりX≦Y≦Zである。(*)から,X, Y, Zの関係式
ソ
が得られる。
|
解説を読む |
この関係式を利用すると,tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)は
テトナ となる。したがって,X≦Y≦Zにより テ,トナ となり,ニニニ から x=ヌネ,y=ノ,z=ハ であることがわかる。 |
解説を読む |
【2014年度センター試験.数学U・B】第1問[2](必答問題)
自然数m, nに対して,不等式 ・・・C を考える。 m=2, n=1のとき,ソであり,このm, nの組はCを満たす。 m=4, n=3のとき,タであり,このm, nの組はCを満たさない。 不等式Cを満たす自然数m, nの組の個数を調べよう。Cは
と変形できる。 nが自然数のとき, のとり得る最小の値はトであるから,Dにより,テでなければならない。テにより,m=ナまたはm=ニでなければならない。ただし,ナ<ニとする。 |
解説を読む →ソ |
n2≦ノハと変形できる。よって,m=ナのとき,Dを満たす自然数nのとり得る値の範囲はn≦ヒである。したがって,m=ナの場合,Cを満たす自然数m, nの組の個数はヒである。 同様にして,m=ニの場合,Cを満たす自然数m, nの組の個数はフである。 以上のことから,Cを満たす自然数m, nの組の個数はヘである。 |
解説を読む |
【2016年度センター試験.数学U・B】第1問[1](必答問題)
(2) のグラフと のグラフはカである。 のグラフと のグラフはキである。 のグラフと のグラフはクである。 のグラフと のグラフはケである。 カ〜ケに当てはまるものを,次の⓪〜Bのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。 ⓪ 同じもの
@ x軸に関して対称
A y軸に関して対称
B 直線y=xに関して対称
|
解説を読む
(1)
→ア,イ
【底の変換公式】
ただし,(a, b, c>0)かつ(a, c≠1)
→ウエ,オ (2)
《x軸に関して対称》
とおくと右図の⓪と@ 《y軸に関して対称》 右図の⓪とA 《y=xの直線に関して対称》 右図の⓪とB 《原点に関して対称》 右図の⓪とC だから これらはy軸に関して対称:A→カ は に等しい.これに「y=xの直線に関して対称」なグラフは, y=xの直線に関して対称:B→キ とおくと だから,これらはx軸に関して対称:@→ク とおくと だから これらはx軸に関して対称:@→ケ |
(3) x>0の範囲における関数 の最小値を求めよう。
とおく。このとき,y=t2−コt+サである。また,xがx>0の範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲はシである。シに当てはまるものを,次の⓪〜Bのうちから一つ選べ。 ⓪ t>0
@ t>1
A t>0かつt≠1
B 実数全体
したがって,yはt=スのとき,すなわちx=セのとき,最小値ソタをとる。 |
解説を読む |
【2017年度センター試験.数学U・B】第1問[2](必答問題)
座標平面上に点 をとり,関数 のグラフ上に2点 をとる。線分ABを1:2に内分する点がCであるとき, p, qの値を求めよう。 真数の条件により,p>タ,q>タである。ただし,対数 に対し,aを底といい,bを真数という。 線分ABを1:2に内分する点の座標は,pを用いて
と表される。これがCの座標と一致するので
が成り立つ。 |
解説を読む |
Dは
と変形できる。CとEを連立させた方程式を解いて, p>タ,q>タに注意すると p=ノハ ,q=ヒフ である。 また,Cのy座標ヒフ の値を,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると,ヘである。ヘに当てはまるものを,次の⓪〜ⓑのうちから一つ選べ。ただし, とする。 ⓪ 0.3 @ 0.6 A 0.9 B 1.3 C 0.6 D 1.9 E 2.3 F 2.6 G 2.9 H 3.3 ⓐ 3.6 ⓑ 3.9 |
解説を読む
Dは
→ニ,ヌ,ネ と変形できる.CEの連立方程式を解くと →ノ,ハ,ヒ,フ =1.5+0.5×1.585 ≒1.5+0.792≒1.5+0.8=2.3→E ヘ
♪∀〜勝手に批評〜個人の感想〜∅♥
教科書レベルの基本問題であり,確実に得点すべき問題です.なお,この問題では の値は書いてなくても解ける. |
【2018年度センター試験.数学U・B】第1問[2](必答問題)
cを正の定数として,不等式 ・・・A を考える。 3を底とするAの両辺の対数をとり, とおくと tソ−タt+タ ・・・B となる。ただし,対数 に対し,aを底といい,bを真数という。 c= のとき,Aを満たすxの値の範囲を求めよう。Bにより t≦チ,t≧ツ である。さらに,真数の条件も考えて テ<x≦ト,x≧ナ となる。 |
解説を読む 【真数が指数関数になっている式は簡単になる】
【指数が対数関数になっている式は簡単になる】
の両辺に3を底とする対数をとると とおくと →ソ,タ のとき だから,不等式は t≦1, t≧2→チ,ツ さらに より,真数条件も考えると 0<x≦3, x≧9→テ,ト,ナ |
次に,Aがx>テの範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。
xがx>テの範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲はニである。ニに当てはまるものを,次の⓪〜Bのうちから一つ選べ。 ⓪ 正の実数全体
@ 負の実数全体
A 実数全体
B 1以外の実数全体
この範囲のtに対して,Bがつねに成り立つための必要十分条件は,
である。 |
解説を読む
xがx>0の範囲を動くとき
のとり得る値の範囲は,実数全体A→ニ この範囲のtに対して がつねに成り立つための必要十分条件は →ヌ,ネ すなわち →ノ,ハヒ
♪∀〜勝手に批評〜個人の感想〜∅♥
教科書レベルの基本問題であり,確実に得点すべき問題です. |
【2019年度センター試験.数学U・B】第1問[2](必答問題)
連立方程式 ・・・A ・・・B を満たす実数x, yを求めよう。 真数の条件により,x, yのとり得る値の範囲はタである。タに当てはまるものを,次の⓪〜Dのうちから一つ選べ。ただし,対数 に対し,aを底といい,bを真数という。 ⓪ x>0, y>0
@ x>2, y>3
A x>−2, y>−3
B x<0, y<0
C x<2, y<3
D x<−2, y<−3
底の変換公式により
である。よって,Aから y=ツx+テ ・・・C が得られる。 |
解説を読む |
次に,tの方程式に書き直すと
とおき,Cを用いてBをt2−トナt+ニヌ=0 ・・・D が得られる。また,xがタにおけるxの範囲を動くとき,tのとり得る値の範囲は ネ<t<ノ ・・・E である。 Eの範囲で方程式Dを解くと,t=ハとなる。したがって,連立方程式A,Bを満たす実数x, yの値は
であることがわかる。 |
解説を読む をBに代入すると |
【2020年度センター試験.数学U・B】第1問[2](必答問題)
(2) x, yは正の実数とする。連立不等式 ・・・A ・・・B について考える。 とおくと,Aは ヌX+Y≦ネノ ・・・C と変形でき,Bは ハX−Y≧ヒフ ・・・D と変形できる。 X, YがCとDを満たすとき,Yのとり得る最大の整数の値はヘである。また,x, yがA,Bとヘを同時に満たすとき,xのとり得る最大の整数の値はホである。 |
解説を読む
【連立不等式の解き方】
Aより●「連立方程式」は,2つの式を足したり,引いたりして1つの文字だけにして解く.これに対して 2X+Y≦10 3X−Y≧−4 のような「連立不等式」は,"2つの式を足したり,引いたりする変形"を行わない方がよい・・・変形すると"必要条件に変わってしまい",元の範囲よりも広い範囲になる. ●「連立不等式」⇒「1つずつ図示」して,共通部分を調べるとよい. とおくと →ヌ,ネノ Bより ここで, だから とおくと →ハ,ヒフ 2X+Y=10と3X−Y=−4の交点の座標は したがって,Y≦7→ヘ Y=7と3X−Y=−4の交点のX座標は Y=7と2X+Y=10の交点のX座標は したがって,Y=7のとき 整数ではx≦5→ホ |