■ 接線の方程式携帯版
◇解説◇
○ 接線の方程式は,いままでに習った2つの公式の組合わせでできます。
(a,b) を通り,傾き m の直線の方程式は
y−b = m(x−a)  ・・・ (1) (数I)
 y= f(x)x = a における接線の傾きは
     m = f'(a)       ・・・ (2) (数II)
関数 y= f(x) 上の点( a, f(a) ) における接線の方程式は
     y−f(a) = f'(a)(x−a)

(a が定まればf(a), f'(a)が定まるので,方程式が定まります。)
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○ 法線の方程式
 点 (a,b) を通り接線に垂直な直線を,点 (a,b) における法線といいます。
 法線は接線と垂直だから,その傾きは  ・・・ (3)
 関数 y= f(x) 上の点( a, f(a) ) における法線の方程式は

     y−f(a) = (x−a)

(解説図)



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 接線の傾きが m = f’(a) であるとき,これに垂直な法線の傾きは,二直線の垂直条件 mm’=−1 から求めることができます。
 すなわち,法線の傾きを m’ とすると,
m’f’(a) = −1 より m’ =−  ( ただし, f’(a) ≠ 0 )




■例題
(1)
y = x2 上の点 (1, 1) における接線の方程式

  y’= 2x だから x = 1 のとき y’= 2
  y−1 = 2(x−1)   y = 2x−1 ・・・答

y = x2 上の点 (1, 1) における法線の方程式
  法線の傾きは m’=−
  y−1 =−(x−1)

  y =−x+ ・・・答



(2)
y = x2−2x における傾き −4 の接線の方程式

  考え方 : f'(a) → a → f(a) の順に求めます。
    
  y’= 2x−2 =−4 を解いて x =−1
  このとき,y = 3
  y−3 =−4 (x+1)
  y =−4x −1 ・・・答
(3)
(0,−2) から 曲線 y = x3 へ引いた接線の方程式

【 考え方 】
(A)×× 与えられた点 (0,−2) を通る直線の方程式を立てて,それが曲線に接する条件を求める方法 → 判別式の問題となり2次関数の場合しか解けない(よくない)

  実演:点 (0,−2) を通る直線の方程式は,
  y+2 = m(x−0) → y = mx−2
  この直線が,曲線 y = x3 と接するための傾き m の条件を求める。
 → x3 = mx−2 が重解をもつ条件?? 2次関数でないので判別式は使えない?? 後の計算が大変
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(B)◎◎ まず接線の方程式を立て,その中で与えられた点
(0,−2) を通るような接点を求める方法
 → (よい)

  実演:接点の座標を (p, p3) とおくと,接線の方程式は
  y−p3 = 3p2(x−p)
  この直線が点 (0,−2) を通るには -2−p3 = 3p2(-p)
  p3 = 1
  p = 1 (実数)
  このとき,接線の方程式は y−1 = 3(x−1)
  y = 3x−2 ・・・ 答


問題 答案
(1)
y = 2x2+3x 上の点 (1, 5) における接線の方程式を求めなさい。

y = x−
(2)
y =−x2+2 上の点 (−1, 1) における法線の方程式を求めなさい。


y =− x+
(3)
(1,−3) を通り,曲線 y = x2 に接する直線の方程式を求めなさい。

y = x−9
y =−x−1
(4)
y = 2x3+3x2 の接線で傾きが 12 となるものを求めなさい。

y = 12x+
y = 12x−
■問題2 ・・・ 所要時間の目安=(1)は分数計算が大変。(2)はすぐできます。
問題
答案
◇共通接線の方程式◇

 2つの曲線の共通接線は,次の図Aのように2曲線が1点で接している場合と,図Bのように接線が各々の曲線と異なる点で接している場合があります。図Aは図Bにおいて, p = q となる場合なので,問題を解くときは,図Bを想定して,2つの接線の方程式を立て,それらが一致する条件を求めればよい。

(1)
y = x3−xy = x2−x の共通接線の方程式を求めなさい。

以上から,
y =−x ・・・ 答

y = x− ・・・ 答
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◇2曲線が接する条件◇

 2曲線 y = f(x), y = g(x) が接するときは,上の図Aのようになり,ある x の値 a について,f(a) = g(a), f'(a) = g'(a) が成り立ちます。

(2)
2曲線 y = x3, y = x2+k が接するように定数 k の値を定めなさい。

a = 0 このとき k = 0 ・・・ 答

a =  このとき k =− ・・・ 答


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