■ 円の方程式 → 携帯版
■ 陰関数表示とは
○ 右図1の直線の方程式は
____________y=x−1 …(1)

のようにy について解かれた形で表されることが多いが,
____________x−2y−2=0 …(2)
のように x , y の関係式として表されることもある.

○ (1)のように,
____________y=f(x)
の形で,y について解かれた形の関数を陽関数といい,(2)のように
____________f(x , y)=0
という形で x , y の関係式として表される関数を陰関数という.

■ 点が曲線上にあるとは
 方程式が(1)(2)どちらの形であっても,x=−1, 0 , 1 , 2 , … を順に代入していくと,y=−,−1 ,− , 0 , … が順に求まり,これらの点を結ぶと直線が得られる.一般に,ある点が与えられた方程式を表されるグラフ(曲線や直線)上にあるかないかは,次のように調べることができる.


 ある点 (p , q)y=f(x) のグラフ上にある ⇔ q=f(p)
 ある点 (p , q)y=f(x) のグラフ上にない ⇔ qf(p)

 ある点 (p , q)f(x , y)=0 のグラフ上にある ⇔ f(p , q)=0
 ある点 (p , q)f(x , y)=0 のグラフ上にない ⇔ f(p , q)0
図1
陽関数の例
y=2x+1 , y=3x2 , y=4
陰関数の例
y−2x−1=0 , y−3x2=0 , y−4=0
図2
図2において
2×2−1 だから (2 , 2)y=x−1 上にない.

1×2−1 だから (2 , 1)y=x−1 上にない.

0=×2−1 だから (2 , 0)y=x−1 上にある.

−1×2−1 だから (2 ,−1)y=x−1 上にない.

−2×2−1 だから (2 ,−2)y=x−1 上にない.

陰関数で表示されているときも同様に,「代入したときに方程式が成り立てばグラフ上にある」「代入したときに方程式が成り立たなければグラフ上にない」と判断できる.
2−2×2−20 だから (2 , 2)x−2y−2=0 上にない.
2−2×1−20 だから (2 , 1)x−2y−2=0 上にない.
2−2×0−2=0 だから (2 , 0)x−2y−2=0 上にある.
2−2×(−1)−20 だから x−2y−2=0 上にない.
2−2×(−2)−20 だから x−2y−2=0 上にない.
■ 1つの x に対応する y が2つあるとき
○ 右図3のように,1つの x に対応する y が2つあるグラフの方程式は,y=f(x) の形(陽関数)で書けば
y=y=−
すなわち,
y= ±
となり,1つの陽関数 y=f(x) にはまとめられない.(y が2つあるから)
 陰関数を用いれば,y2=x あるいは x−y2=0 と書くことができる.

○ 右図4は原点を中心とする半径5の円のグラフであるが,この円は縦線と2箇所で交わるので,1つの x に対応する y が2つあり,円の方程式は1つの陽関数では表せない.

○ 右図5において,原点を中心とする半径5の円の方程式を求めてみよう.
 円周上の点 P の座標を (x , y) とおくと,ピタゴラスの定理(三平方の定理)により,
x2+y2=52 …(A)
が成り立つ.
 上半円については,y0 なので,
y= …(B)
 下半円については,y0 なので,
y=− …(C)
と書けるが,通常は円の方程式を(A)の形で表す.
※ 点 (3, 4) は,32+42=52 を満たすのでこの円周上にある.
 また,点 (3,−4) も,32+(−4)2=52 を満たすのでこの円周上にある.
 さらに,点 (1, 2) も,12+(2)2=52 を満たすのでこの円周上にある.
 しかし,点 (3, 2) は,32+22=1352 を満たすのでこの円周上にないことが分かる.
 
図3
図4
図5
■ 円の方程式
 原点を中心とする半径 r の円(円周)の方程式は
x2+y2=r2 …(1)
 点 (a , b) を中心とする半径 r の円(円周)の方程式は
(x−a)2+(y−b)2=r2 …(2)

※ 初歩的な注意
○ (2)において,点 (a , b) を中心とする半径 r の円の方程式が
(x−a)2+(y−b)2=r2
(−a ,−b) を中心とする半径 r の円の方程式が
(x+a)2+(y+b)2=r2
(a ,−b) を中心とする半径 r の円の方程式が
(x−a)2+(y+b)2=r2
のように,中心の座標 (a , b) は,円の方程式では見かけ上の符号が逆になる点に注意.

○ (1)(2)とも右辺は r2 なので,
半径が 2 → 右辺は 4
半径が 3 → 右辺は 9
半径が 4 → 右辺は 16
半径が → 右辺は 2
半径が → 右辺は 3
などになる点に注意
(証明)
(1)←
 原点を中心とする半径 r の円周上の点を P(x , y) とおくと,直角三角形の横の長さが x,縦の長さが y の直角三角形の斜辺の長さが r となるのだから,
x2+y2=r2
が成り立つ.
 (別の証明):2点間の距離の公式

 2点 A(a , b), B(c , d) 間の距離は,
を用いても,直ちに示せる.
 =r より x2+y2=r2

※ 点 P が座標軸上(通俗的に言えば,赤道上または北極,南極の場所)にあるとき,直角三角形にならないが,たとえば x 軸上の点 (r , 0) についても,r2+02=r2 が成り立つ.このように,座標軸上の点については直角三角形はできないが,この方程式は成り立つ.

※ 点 P が第2,第3,第4象限にあるとき,x , y 座標が負になることがあるので,正確に言えば,直角三角形の横の長さが |x|,縦の長さが |y| とすべきであるが,このように説明すると経験上,半数以上の生徒が授業を聞く意欲をなくすようである(絶対値アレルギー?).(1)においては,x , y が正でも負でも2乗するので結果はこれでよい.

(2)←
 2点 A(a , b), P(x , y) 間の距離は,  だから,この値が r に等しいことが円周上にある条件となる.
=r より
(x−a)2+(y−b)2=r2
例題
(1) 原点を中心とする半径4の円の方程式を求めよ.
(解答) x2+y2=16

(2) 点 (−5 , 3) を中心とする半径 2 の円の方程式を求めよ
(解答) (x+5)2+(y−3)2=4
(3) 円 (x−4)2+(y+1)2=9 の中心の座標と半径を求めよ.
(解答) 中心の座標 (4 ,−1),半径 3

問題1 次の円の方程式を求めなさい.
  ○ 初めに 問題を1つ選び,続けて右欄から解答を選びなさい.
  ○ 正しければ確定します.間違っていれば元に戻ります.

   
[ 問題 ]

[ 解答 ]


■ 解説
■ 円の方程式の一般形(展開形)
x2+y2+Ax+By+C=0 …(1)

(x−a)2+(y−b)2=r2 …(2)
変形できるとき,点 (a , b) を中心とする半径 r の円を表す.

(解説)
○簡単な例
 円の方程式 (x−2)2+(y−3)2=42 を展開すると
 x2−4x+4+y2−6y+9=16 となり,定数項をまとめると
 x2+y2−4x−6y−3=0 になる.

○ 一般に,
 (x−a)2+(y−b)2=r2 …(2) の形の円の方程式は必ず
 x2+y2+Ax+By+C=0 …(1) の形に変形できる.

○ 逆に,
 x2+y2+Ax+By+C=0 …(1) の形の方程式は,「平方完成」により,次のように変形できる.
 (x2+Ax)+(y2+By)=−C
 {x2+Ax+( )2}+{y2+By+( )2)=−C+( )2+( )2

 (x+ )2+(y+ )2= …(3) と変形できるから

右辺が正の数になるときは円を表す.
 右辺が負または0になる場合には,(1)は円を表さない.(右辺が0ならば単なる「点」となり,右辺が負ならば座標平面上に図示できない.)
[なぜ「・・・に変形できるとき」などと中途半端な言い方をするのか?][なぜ,円を表すと言い切らないのか?]
 (2)は必ず(1)になる.
 しかし,(1)の多くは(2)に変形できるが,例外的にそうはならないものがあるので,このように言わざるを得ない.

例 (1)→(2)になり,円を表すもの
x2+y2+2x−4y−4=0

x2+2x+y2−4y=4
(x2+2x+1)+(y2−4y+4)=4+1+4
(x+1)2+(y−2)2=9
のように変形できるから,点 (−1 , 2) を中心とする半径 3 の円を表す.

例 (1)が円を表さないもの
x2+y2+2x−4y+6=0

x2+2x+y2−4y=−6
(x2+2x+1)+(y2−4y+4)=−6+1+4
(x+1)2+(y−2)2=−1 になり,
右辺が負の数になるので,r2=−1 からは半径が求まらない.したがって,このような円は描けない.
 円を表すかどうかは「平方完成」の変形をやってみれば分かる.
■ 平方完成は次のように行う
y も同様

_____x2+2x=(x+1)2−1
_____x2+4x=(x+2)2−4
_____x2+6x=(x+3)2−9

※ x2−2ax+a2=(x−a)2 だから x2−2ax=(x−a)2 - a2
- a2の符号に注意して以下の変形を見ること

_____x2−2x=(x−1)2−1 ← 引き算のときも,マイナスになる
_____x2−4x=(x−2)2−4
_____x2−2x=(x−1)2−1 ← 引き算のときも,マイナスになる

_____x2+x=(x+)2 ← 1の半分は
_____x2−3x=(x−)2 ← 3の半分は
例題 次の方程式はどのような図形を表すか.
(1) x2+y2−6x+10y+18=0



(2) x2+y2+5x=0

(答案)
(1) (x2−6x)+(y2+10y)=−18
  (x2−6x+9)+(y2+10y+25)=−18+9+25
  (x−3)2+(y+5)2=16
と変形できるから,点 (3 ,−5) を中心とする半径 4 の円を表す.
(2) (x2+5x)+y2=0
  (x2+5x+)+y2=
  (x+)2+y2=( )2
と変形できるから,点 (−, 0) を中心とする半径 の円を表す.
問題2 次の方程式が表す図形を求めなさい.
  ○ 初めに 問題を1つ選び,続けて右欄から解答を選びなさい.
  ○ 正しければ確定します.間違っていれば元に戻ります.
   
[ 問題 ]


[ 解答 ]


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