■回転移動の1次変換携帯版
 

点(x,y)を原点の周りに角θだけ回転すると点(x’,y’)に移されるものすると,
x’=xcosθ-ysinθ
y’=xsinθ+ycosθ
すなわち





説明方法が幾つかありますが,一長一短ですので,各自の思考パターンに合うもので納得しましょう。全部読む必要はありません。↓→

■説明1

順に選んで下さい

■説明2
まず,基本ベクトル
=(1,0),=(0,1)
を角θ回転すると
=(cosθ,sinθ),=(-sinθ,cosθ)
となります。

次に,

=x+y
であった点は
=x+y
に移りますが,

=(cosθ,sinθ),=(-sinθ,cosθ)

により,
=x(cosθ,sinθ)+y(-sinθ,cosθ)
=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)
■説明3
他のページに次の記述があります。
ある1次変換によって,点(1,0)が(a,c)に点(0,1)が点(b,d)に移されるとき, 1次変換の行列は,
=(1,0),=(0,1)が
=(cosθ,sinθ),=(-sinθ,cosθ)
に移されるのだから,
■(参考)
三角関数の加法定理との関係
x=rcosα,y=rsinα・・(1)
x’=rcos(α+θ),y’=rsin(α+θ)・・(2)において
三角関数の加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
を用いれば,
x’=r(cosαcosθ-sinαsinθ)
  =rcosαcosθ-rsinαsinθ
  =cosθ-sinθ
y’=r(sinαcosθ+cosαsinθ)
  =rsinαcosθ+rcosαsinθ
  =cosθ+sinθ=sinθ+cosθ
--
例題

原点のまわりに30°回転する1次変換の行列は,

点(1,−√3)を原点のまわりに60°回転した点の座標は,
により,(2,0)になります。
--[問題1]
原点のまわりに次の角度だけ回転することを表す1次変換の行列を求めなさい。(初めに角度を選び,次に行列を選びなさい。正しければ消えます。)
 
[角度]





[行列]
   
   
   
--[問題2]
次の点を原点のまわりに角度θだけ回転した点の座標を求めなさい。(初めに問題を選び,次に選択肢を選びなさい。正しければ消えます。)---計算用紙が必要です。
 
[問題]
  
  
  
[選択肢]
  
  
  

■ 原点以外の点の周りの回転
 点P(x, y)を点A(a, b)の周りに角θだけ回転した点を
Q(x”, y”)とすると
(解説)
 原点の周りの回転移動の公式を使って,一般の点A(a, b)の周りの回転の公式を作ります.
 すなわち,右図のように,扇形APQと合同な図形を扇形OP’Q’として作り,次にQ’を平行移動してQを求めます.
(1) はじめに,点A(a, b)を原点に移す平行移動により,点Pが移される点を求めると
P(x, y) → P’(x−a, y−b)
(2) 次に,原点の周りに点P’(x−a, y−b)を角θだけ回転すると

(3) 求めた点Q’(x’, y’)を平行移動して元に戻すと



【例1】
 点P(, 1)を点A(0, 2)の周りに30°だけ回転するとどのような点に移されますか.
(解答)
(1) 点A(0, 2)を原点に移す平行移動(x方向に0y方向に−2)により,
P(, 1) → P’(, −1)
と移される.
(2) P’(, −1)を原点の周りに30°だけ回転してできる点Q’(x’, y’)の座標は次の式で求められる

(3) 最後に,点Q’(x’, y’)を逆向きに平行移動(x方向に0y方向に2)すると
Q’(2, 0) → Q(2, 2)…(答)
【例2】
 原点O(0, 0)を点A(3, 1)の周りに90°だけ回転するとどのような点に移されますか.
(解答)
(1) 点A(3, 1)を原点に移す平行移動(x方向に−3y方向に−1)により,
O(0, 0) → P’(−3, −1)
と移される.
(2) P’(−3, −1)を原点の周りに90°だけ回転してできる点Q’(x’, y’)の座標は次の式で求められる

(3) 最後に,点Q’(x’, y’)を逆向きに平行移動(x方向に3y方向に1)すると
Q’(1, −3) → Q(4, −2)…(答)
[問題3]次の各点の座標を求めてください.(正しいものを選んでください)
(2)
 点P(4, 0)を点A(2, 2)の周りに60°だけ回転してできる点

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